Tìm điều kiện tồn tại của đa tạp tích phân đối với phương trình tiến hóa nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các nghiên cứu đầu tiên về sự tồn tại đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân trong trường hợp không gian pha hữu hạn chiều được Hadamard, Perron, Bogoliubov, Mitropolsky đưa ra. Tiếp theo, Daleckii và Krein đã mở rộng cho các trường hợp hệ số bị chặn tác động trên không gian Banach. Sau đó, Henry, Sell và You đã chỉ ra cho trường hợp không bị chặn, và N.T. Huy [4,5] đã chỉ ra cho trường hợp phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện -Lipschitz. Tuy nhiên, trong trường hợp tồn tại đa tạp ổn định xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa với toán tử phi tuyến Nemytskii’s đến nay chưa có kết quả nào đề cập đến. Do đó, trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa dạng
u A t u g u t ( ) ( )( )
trong đó, toán tử tuyến tính t A t ( ) tuần hoàn với chu kì T , hàm phi tuyến Nemytskii’s g x t ( )( ) tuần hoàn chu kì T theo biến t với mỗi x X cố định và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương.
The matter of finding the relevant conditions for the existences of the integral manifolds to evolution equations is a great interest of many Mathematic researchers. The first studies on the existence of integral manifolds on differential equations in case finite-dimensional phase spaces were given by Hadamard [5], Perron [12], and Bogoliubov and Mitropolsky [1, 2]. Next, Daleckii and Krein [3] extended these results to the case of bounded coefficients acting on Banach spaces. Later, Henry [10], Sell and You [13] proved the case of unbounded coefficients, and the papers by N.T.Huy [6,7] in which nonlinear part satisfies the -Lipschitz condition. However, the existences of the integral manifolds near periodic solution of evolution equations with Nemytskii’s nonlinear operator have been studied in no researches before. Therefore, in this paper, we would like to prove the existence of local stable manifolds near periodic solutions to evolution equationse form u A t u g u t ( ) ( )( ) where the operator-valued function t A t ( ) is T -periodic, and the Nemytskii's operator g x t ( )( ) is T -periodic with respect to t for each fixed x and satisfies locally Lipschitz condition.